Visualizing the 4d numbers Quaternions

视频借助低维世界逐步解释单位四元数的乘法。立体投影先把单位圆送到直线、单位球面送到平面，再把四维空间中的单位超球面显示在三维中。追随基元素的运动会看到，左乘单位四元数让两个互相垂直的平面同步旋转。由此可以理解乘法表、顺序差异，以及为何表示三维姿态还需要进一步的共轭操作。

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视频章节 4

1. ▶ 4:34
   复数乘法作为空间上的作用
2. ▶ 7:28
   用立体投影观察旋转
3. ▶ 17:29
   单位四元数的四维几何
4. ▶ 23:19
   同步双旋转与乘法顺序

具体观点与证据 4

立体投影中位置远近各异的点都可代表单位四元数，屏幕距离不能直接当作四维模长。

图上只投影单位超球面，投影极点按无穷远点处理。

everything you're looking at really has the same magnitude

▶ 22:06–22:21 探索此观点 →

单位四元数左乘可理解为四维中两个互相垂直平面上的同步旋转。

此处是单位四元数左乘作用；三维向量旋转另外使用共轭。

two separate 2D rotations, happening perpendicular to and in sync with each other

▶ 23:19–23:34 探索此观点 →

四元数乘法依赖次序，交换 i 与 j 会把积从 k 变为 −k。

这说明一般不满足交换律；某些特定元素仍可交换。

One thing worth noticing here is that order of multiplication matters.

▶ 28:40–28:43 探索此观点 →

知道固定四元数左乘对 1、i、j、k 四个基元素的作用，就能由线性性得到对任意四元数的作用。

固定左乘因子后，映射在右侧输入上为实线性变换。

knowing what our transformation does to them gives us the full information about what it does to all of space

▶ 25:32–25:44 探索此观点 →

解读边界

重点是四元数左乘在四维中的几何作用。三维向量旋转的共轭公式留给续集。